作者丨鼎陽(yáng)科技 張賀陽(yáng)

如果說(shuō)起系統(tǒng)工程師絕對(duì)不喜歡的一件事，那就是在感興趣的信號(hào)中存在隨機(jī)信號(hào)，但是隨機(jī)性又是測(cè)量高速信號(hào)時(shí)繞不開(kāi)的一個(gè)話題。

提起高速信號(hào)測(cè)量，大家想到的可能都是時(shí)域和示波器和眼圖相關(guān)的內(nèi)容，但是，我們還有一個(gè)很方便的工具來(lái)分析感興趣的信號(hào)中的隨機(jī)信號(hào)，他就是功率譜密度（PSD, Power Spectral Density）。

圖 1 使用示波器觀察高速信號(hào)

01

什么是功率譜密度

現(xiàn)實(shí)中的很多抖動(dòng)，尤其是在電子電力系統(tǒng)中，都包含了許多“隨機(jī)”抖動(dòng)，因?yàn)檫@些抖動(dòng)具有許多不同的頻率分量。在抖動(dòng)測(cè)試中，雖然可以顯示出TIE的分布情況，但是相較于頻譜分析還是不夠直觀，我們無(wú)法判斷在這樣的抖動(dòng)的能量，也無(wú)法判斷這樣的抖動(dòng)對(duì)整體有什么樣的影響。

FFT非常適合分析主要頻率成分?jǐn)?shù)量有限的抖動(dòng)，但是對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，他的傅里葉變換不收斂，所以不能用頻譜來(lái)準(zhǔn)確描述，此時(shí)，功率譜密度是更有效的分析工具。

如果我在系統(tǒng)中沒(méi)有使用到隨機(jī)信號(hào)，還需要進(jìn)行功率譜密度的測(cè)量嗎？

實(shí)際上，我們使用到的絕大部分信號(hào)都是隨機(jī)信號(hào)。能量信號(hào)和周期信號(hào)通常在仿真中使用，但在實(shí)際的生產(chǎn)中，即使原始信號(hào)可能是周期信號(hào)，但是由于數(shù)據(jù)采集、信號(hào)處理的過(guò)程中存在噪聲，所以實(shí)際獲得的信號(hào)仍然是隨機(jī)信號(hào)。

既然隨機(jī)信號(hào)不像是能量信號(hào)和周期信號(hào)那樣可以使用頻譜進(jìn)行觀測(cè)，那應(yīng)該怎么表征他的功率能量和頻率的關(guān)系呢？我們要怎么確定能量集中在了哪里？

功率譜密度給了我們答案。

在計(jì)算功率譜密度時(shí)，我們將隨機(jī)信號(hào)的N個(gè)采樣點(diǎn)視作一個(gè)能量有限的信號(hào)，經(jīng)過(guò)傅里葉變換后，將其幅度平方再除以N，將此時(shí)得到的結(jié)果作為對(duì)真實(shí)功率譜的估計(jì)。要提高功率譜估計(jì)的分辨率，必須增加數(shù)據(jù)序列的長(zhǎng)度N，但是較長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列，由噪聲引起的隨機(jī)性得到更為充分的體現(xiàn)——較大的方差。

02

PSD和FFT的區(qū)別

既然現(xiàn)代測(cè)量PSD的方法也是根據(jù)FFT的結(jié)果來(lái)計(jì)算出來(lái)的，那為什么不直接使用FFT來(lái)進(jìn)行信號(hào)分析呢？

這是因?yàn)镻SD已經(jīng)歸一化為頻帶寬度，從而避免了不同的掃描時(shí)間下導(dǎo)致結(jié)果振幅的不同。在需要長(zhǎng)時(shí)間掃描采集數(shù)據(jù)的應(yīng)用場(chǎng)景中，功率譜密度有他獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

測(cè)量相同的信號(hào)，在不同的掃描時(shí)間下測(cè)得的頻譜圖如圖 2所示。這里輸入的信號(hào)為一個(gè)40MHz的正弦波，其中添加了帶寬為50MHz，標(biāo)準(zhǔn)差為194.6mV的隨機(jī)噪聲。其中灰色的參考跡線為掃描時(shí)間為5s的結(jié)果，黃色的跡線為自動(dòng)掃描時(shí)間1.33ms下的測(cè)試結(jié)果。

可以看到，在較短的掃描時(shí)間下，很難看出信號(hào)整體的能量分布，但是在長(zhǎng)時(shí)間掃描的結(jié)果中，雖然整體在頻率增加時(shí)有下降的趨勢(shì)，但是由于噪聲信號(hào)的隨機(jī)性，在相近頻點(diǎn)會(huì)獲得多個(gè)幅度相差較大的結(jié)果，所以在幅度軸上分布很分散，無(wú)法判斷在該頻點(diǎn)信號(hào)的能量分布。

圖 2 SA模式下的掃描結(jié)果

此時(shí)如果觀察信號(hào)的歸一化后的幅度，可以很方便的觀察出信號(hào)的能量分布，如圖 3所示。

圖 3 歸一化后的SA掃描結(jié)果

其中白色參考跡線為掃描時(shí)間為5s的歸一化結(jié)果，黃色跡線為自動(dòng)掃描時(shí)間1.33ms下的歸一化結(jié)果。可以明顯看出，當(dāng)掃描時(shí)間變長(zhǎng)，樣本數(shù)增加，此時(shí)的跡線結(jié)果更加平滑，而1.33ms下的結(jié)果由于樣本量很少，所以和SA的結(jié)果幾乎沒(méi)有區(qū)別。在白色的參考跡線中也可以明顯看出，隨著信號(hào)的頻率超過(guò)50MHz，信號(hào)的功率幅度也在下降，這和我們信號(hào)中設(shè)置的50MHz的噪聲是匹配的。